Koordinatlar


d.ogren-sen.com > Doğru > Evraklar
DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

Koordinatlar





Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen sıralı ikili (a,b) ise a reel sayısına A nın apsisi, b ye de ordinatı denir.

Düzlemde A ve B noktalan verildiğinde, bunlar arasındaki uzaklık AB sembolü ile gösterilir. Bu uzaklığın nasıl hesaplanacağını aşağıdaki teorem göstermekte­dir.




TEOREM

(Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık)
A(x1 . y1) noktaları arasındaki uzaklık

AB =

birimdir.
Bu teoremin ispatı, yanda verilen ABC dik üçgenine Pisagor bağıntısını uygula­maktan ibarettir.

Bir Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi


Bir doğrunun Ox - ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya doğrunun eğim açısı, eğim açısının tanjantına da doğrunun eğimi denir. Buna göre, d doğrusunun eğimi m ise

m = tan olacaktır.

d doğrusunun eğim açısı dar açı ise eğim pozitif, geniş açı ise eğim negatif ola­caktır. Yanda çeşitli eğim açısı ve eğime sahip doğrular çizilmiştir. tan90° tanımsız olduğundan, düşey doğruların eğimleri tanımsızdır.




Şimdi bir doğru üzerinde P(x1 , yL) , Q(x2, y2) noktalarını seçelim. PQT dik üçgeninde

olacağından

olur.




Buna göre, y ve x deki değişimler

y = y2 – y1 , x = x2 – x1 ile gösterilirse

yazılabilir.

Buna göre bir doğrunun eğimi, kabaca "yükselen" kısmın "yatan" kısma oranı biçiminde tanımlanabilir.

Bir doğrunun eğimi, doğru üzerinde seçilen noktalardan bağımsızdır. Yani noktalar değişse de eğim değişmez. Örneğin doğru üzerinde

P = (x1 – y1), Q (x2 – y2), S (x3 – y3), R (x4 – y4)

noktaları alındığında, ve üçgenlerinin benzerliğinden,



bulunur. Yani noktalar değiştikçe oran değişmemektedir.

Bir doğru Qx eksenine paralel olduğunda

v = 0, x  0 olacağından

m = 0 olur.



Doğru Oy - eksenine paralel olduğunda x = 0, y  0 olacağından m tanımsız olur.

Paralel ve Dik Doğrular


d1 ve d2 doğruları paralel ise onların eğim açıları eşit ölçülü, dolayısıyla eğimleri eşittir. Buna göre,

d1 // d2  m1 = m2

Düşey olmayan d1 ve d2 dik doğrularının eğimleri, sırasıyla m1 ve m2 olsun.



olacağından



olur. Buna göre

d1  d2  m1 . m2 = -1
Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

Bir doğrunun denklemini bulmak demek, onun üzerinde alınan değişken bir P(x,y) noktasının x, y koordinatları arasında bir bağıntı bulmak demektir.

a(xo, y0) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru üzerinde bir P(x,y) noktası alınırsa,



bulunur. Buna göre doğrunun denklemi

y = y0 = m (x – x0)

olur.

y = y0 = m (x – x0)

denklemi

y = mx + (y0 – mx0)  y = mx + n

biçiminde de yazılabilir.

Şu halde x ‘in katsayısı olan sayı doğrunun eğimidir.

İki noktası Verilen Doğrunun Denklemi


A(x1 , y1 ve B(x2,y2) noktalarından geçen doğrunun üzerinde bir P(x,y) noktası alalım.

ve

olacağından

=

yazılabilir. Orantı özelliklerinden yararlanarak, bu bağıntı

=

biçiminde de yazılabilir.
Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı
Bir A(x0 , y0) noktasının denklemi ax + by + c = 0 olan doğruya olan uzaklığı A dan doğruya indirilen [AH] dikmesinin uzunluğudur. AH doğrusunun eğimi a / b dır. Dolayısıyla denklemi y - y0 = b / a (x - x0 ) dır.

Bu doğru ile ax + by + c = 0 doğrusunun kesim noktası H noktasıdır. A ve H arasındaki uzaklık hesaplanarak  bulunur.

Yukarıdakiler yapıldığında

bulunur.

Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık



Denklemleri

ax + by + cl = 0 , ax + by + c2 = 0 olan doğrular arasındaki uzaklık

birimidir.



 

  • Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a eğim açısı gösterilmiştir.

  • Doğrunun denklemi:

Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını veren eşitliğe doğrunun denklemi denir.

y = mx + n

y = mx + n eşitliğinde m: eğim, n: sabit sayıdır. ax + by + c = 0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa



elde edilir

 x in katsayısı eğimi verir.

Öyle ise,

ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi



Eğimi eşit olan doğrulara paralel doğrular denir. Doğruların eğimleri arasındaki bağıntıdan daha sonra bahsedeceğiz.

2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğim ve Denklemi

a. İki noktası bilinen doğrunun eğimi



Analitik düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) noktaları bilinen d doğrusu üzerinde A, B noktalarının koordinatları kullanılarak oluşturulan ABC üçgeninin A açısı ile d doğrusunun eğim açısı yöndeş açılar olduklarından eşittirler.

Buradan









olduğundan






şeklinde de yazılabilir

b. İki noktası bilinen doğrunun denklemi



A(x1, y1), B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde doğruyu oluşturan noktaları temsil eden P(x, y) noktası alalım. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazacağımız eğimler eşittir. Buna göre,



Bu eşitlik bize iki noktası bilinen doğru denklemini verir.



şeklinde de yazılabilir. Sonuç aynıdır.

  • Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağından

y = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.

O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi

y= mx

Doğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.

Doğru denklemi ax + by = 0 olur.

3. Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemi






A(x1, y1) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.

4. Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

a. Eksen doğruları

Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur.

y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.



b. x eksenine paralel doğrular

y = k doğrusu; y eksenini k noktasında keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.



c. y eksenine paralel doğrular

x = k doğrusu;

x eksenini k noktasında keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.

 



5. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi

x eksenini a noktasında y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi








Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.

  • Dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya

    y=x

  • doğrusu denir.



 

  • Dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya

    y= -x  

  • doğrusu denir.



 



  •  y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.

6. Doğruların Grafikleri

Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur.

x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır.





sosyal ağlarda paylaşma




Yasa




© 2000-2018
kişileri
d.ogren-sen.com